Julia 复数和有理数
本章节我们主要要来学习 Julia 的复数和有理数。
Julia 语言包含了预定义的复数和有理数类型，并且支持它们的各种标准数学运算和初等函数。
复数
复数，为实数的延伸，它使任一多项式方程都有根。
我们把形如
z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位，它有着性质
。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。
全局常量 im 被绑定到复数 i，表示 -1 的主平方根。
由于 Julia 允许数值字面量作为数值字面量系数，这种绑定就足以为复数提供很方便的语法，类似于传统的数学记法：
实例
1 + 2im
我们也可以对复数进行各种算术操作：
实例
8 + 1im
julia > ( 1 + 2im ) / ( 1 - 2im )
- 0.6 + 0.8im
julia > ( 1 + 2im ) + ( 1 - 2im )
2 + 0im
julia > ( - 3 + 2im ) - ( 5 - 1im )
- 8 + 3im
julia > ( - 1 + 2im ) ^ 2
- 3 - 4im
julia > ( - 1 + 2im ) ^ 2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im
julia > ( - 1 + 2im ) ^ ( 1 + 1im )
- 0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im
julia > 3 ( 2 - 5im )
6 - 15im
julia > 3 ( 2 - 5im ) ^ 2
- 63 - 60im
julia > 3 ( 2 - 5im ) ^- 1.0
0.20689655172413796 + 0.5172413793103449im
类型提升机制也确保你可以使用不同类型的操作数的组合：
实例
2 - 2im
julia > ( 2 + 3im ) - 1
1 + 3im
julia > ( 1 + 2im ) + 0.5
1.5 + 2.0im
julia > ( 2 + 3im ) - 0.5im
2.0 + 2.5im
julia > 0.75 ( 1 + 2im )
0.75 + 1.5im
julia > ( 2 + 3im ) / 2
1.0 + 1.5im
julia > ( 1 - 3im ) / ( 2 + 2im )
- 0.5 - 1.0im
julia > 2im^ 2
- 2 + 0im
julia > 1 + 3 /4im
1.0 - 0.75im
注意 3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im) ，因为系数比除法的优先级更高。
Julia 提供了一些操作复数的标准函数：
实例
1 + 2im
julia > real ( 1 + 2im ) # z 的实部
1
julia > imag ( 1 + 2im ) # z 的虚部
2
julia > conj ( 1 + 2im ) # z 的复共轭
1 - 2im
julia > abs ( 1 + 2im ) # z 的绝对值
2.23606797749979
julia > abs2 ( 1 + 2im ) # 取平方后的绝对值
5
julia > angle ( 1 + 2im ) # 以弧度为单位的相位角
1.1071487177940904
按照惯例，复数的绝对值（abs）是从零点到它的距离。abs2 给出绝对值的平方，作用于复数上时非常有用，因为它避免了取平方根。angle 返回以弧度为单位的相位角（也被称为辐角函数）。所有其它的初等函数在复数上也都有完整的定义：
实例
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im
julia > sqrt ( 1 + 2im )
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im
julia > cos ( 1 + 2im )
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im
julia > exp ( 1 + 2im )
- 1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im
julia > sinh ( 1 + 2im )
- 0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im
注意数学函数通常应用于实数就返回实数值，应用于复数就返回复数值。例如，当 sqrt 应用于 -1 与 -1 + 0im 会有不同的表现，虽然 -1 == -1 + 0im：
实例
ERROR: DomainError with - 1.0 :
sqrt will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt ( Complex ( x ) ) .
Stacktrace :
[ ... ]
julia > sqrt ( - 1 + 0im )
0.0 + 1.0im
从变量构建复数时，文本型数值系数记法不再适用。相反地，乘法必须显式地写出：
实例
1 + 2im
然而，我们并不推荐这样做，而应改为使用更高效的 complex 函数直接通过实部与虚部构建一个复数值：
实例
1 + 2im
这种构建避免了乘法和加法操作。
Inf 和 NaN 可能出现在复数的实部和虚部，正如特殊的浮点值章节所描述的：
实例
1.0 + Inf * im
julia > 1 + NaN * im
1.0 + NaN * im
有理数
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
数学上，可以表达为两个整数比的数(
,
)被定义为有理数，例如
，0.75(可被表达为
)。整数和分数统称为有理数。与有理数相对的是无理数，如
无法用整数比表示。
Julia 有一个用于表示整数精确比值的分数类型。分数通过 // 运算符构建：
实例
2 // 3
如果一个分数的分子和分母含有公因子，它们会被约分到最简形式且分母非负：
实例
2 // 3
julia > - 4 // 8
- 1 // 2
julia > 5 //- 15
- 1 // 3
julia > - 4 //- 12
1 // 3
整数比值的这种标准化形式是唯一的，所以分数值的相等性可由校验分子与分母都相等来测试。分数值的标准化分子和分母可以使用 numerator 和 denominator 函数得到：
实例
2
julia > denominator ( 2 // 3 )
3
分子和分母的直接比较通常是不必要的，因为标准算术和比较操作对分数值也有定义：
实例
true
julia > 2 // 3 == 9 // 27
false
julia > 3 // 7 < 1 // 2
true
julia > 3 // 4 > 2 // 3
true
julia > 2 // 4 + 1 // 6
2 // 3
julia > 5 // 12 - 1 // 4
1 // 6
julia > 5 // 8 * 3 // 12
5 // 32
julia > 6 // 5 / 10 // 7
21 // 25
分数可以很容易地转换成浮点数：
实例
0.75
对任意整数值 a 和 b（除了 a == 0 且 b == 0 时），从分数到浮点数的转换遵从以下的一致性：
实例
julia > isequal ( float ( a//b ) , a/b )
true
Julia接受构建无穷分数值：
实例
1 //
julia > x = - 3 //
- 1 //
julia > typeof ( x )
Rational { Int64 }
但不接受试图构建一个 NaN 分数值：
实例
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero ( Int64 ) //zero ( Int64 )
Stacktrace:
[ ... ]
像往常一样，类型提升系统使得分数可以轻松地同其它数值类型进行交互：
实例
8 // 5
julia > 3 // 5 - 0.5
0.09999999999999998
julia > 2 // 7 * ( 1 + 2im )
2 // 7 + 4 // 7 * im
julia > 2 // 7 * ( 1.5 + 2im )
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im
julia > 3 // 2 / ( 1 + 2im )
3 // 10 - 3 // 5 * im
julia > 1 // 2 + 2im
1 // 2 + 2 // 1 * im
julia > 1 + 2 //3im
1 // 1 - 2 // 3 * im
julia > 0.5 == 1 // 2
true
julia > 0.33 == 1 // 3
false
julia > 0.33 < 1 // 3
true
julia > 1 // 3 - 0.33
0.0033333333333332993
